关系代数
关系代数(Relational Algebra)是一种基于集合论的数学理论, 用于对关系数据库中的数据进行建模和查询. 它由埃德加·F·科德(Edgar F. Codd)提出, 提供了一套运算符, 这些运算符可以对一个或者多个关系进行操作, 生成新的关系作为结果.
运算符
关系代数的运算符包括:
- 一元运算符, Unary Operator
- 选择(σ): 从关系中选择符合条件的元组
- 投影(π): 从关系中选择某些列
- 重命名(ρ): 重命名属性或者关系
- 二元运算符, Binary Operator
- 连接操作符
- 笛卡尔积(×): 将两个关系中所有元组组合起来, 形成一个新的关系
- 连接(⋈): 将两个关系中匹配的元组组合起来, 通常会基于共同的属性进行匹配
- 集合操作符
- 并(∪): 返回关系A和B中所有元素的并集, 包含A和B中所有的元素, 不重复
- 交(∩): 返回关系A和B中同时存在的元组
- 差(-): 返回只在关系A中存在而不在关系B中存在的元组
- 连接操作符
这些运算符可以组合使用, 以表达更加复杂的查询. 关系代数描述了得到答案的详细步骤, 因此它是一种过程式语言. 元组演算相比之下是一种声明式语言, 描述的是最终状态的结果. SQL是声明式的.
其实, 只有6种基本运算符, 分别是σ, π, ×, ∪, -, ρ. 其他的都是衍生的运算符, 如⋈Θ, 其实可以表示为R ⋈Θ S = σΘ(R×S)...
选择条件
在数据查询和筛选中, 选择条件通常是由许多个条件组合而成的布尔表达式. 这些条件用于过滤数据集, 以便根据特定的标准选择数据. 每个术语可以是以下两种形式之一:
- 属性和常量之间的比较:
attribute op constant - 属性之间的比较:
attribute1 op attribute2
可用的运算符包括:
<: 小于>: 大于<=: 小于或等于>=: 大于或等于≠: 不等于=: 等于
选择条件可以通过布尔运算符进行组合, 以便形成更加复杂的查询条件:
^: AND∨: OR
笛卡尔积
笛卡尔积, 又可以叫作Cartesian Product. 可以被表示为RxS = {ts|t∈R∧s∈S}. 也就是说, R中的每一个元组都会和S中的每一个元组配对. 如图.
例子
现在, 有两张表:
| EmpID | EmpName | DeptID |
|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 |
| 2 | Bob | 20 |
| 3 | Charlie | 10 |
| DeptID | DeptName |
|---|---|
| 10 | HR |
| 20 | Engineering |
对这两张表进行笛卡尔积操作Employees×Departments, 得到的表为:
| EmpID | EmpName | DeptID | DeptID | DeptName |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 | 10 | HR |
| 1 | Alice | 10 | 20 | Engineering |
| 2 | Bob | 20 | 10 | HR |
| 2 | Bob | 20 | 20 | Engineering |
| 3 | Charlie | 10 | 10 | HR |
| 3 | Charlie | 10 | 20 | Engineering |
条件连接
条件连接, 又叫作Θ连接. 是在笛卡尔积的基础上再加上一个选择运算符. R ⋈Θ S = σΘ (R×S). 如图.
Tip
条件连接有四种类型:
- 内连接
- 左外连接
- 右外连接
- 全外连接
如图.
默认的条件连接为内连接.
例子
现在有两张表A和B.
| CustomerID | CustomerName |
|---|---|
| 1 | Alice |
| 2 | Bob |
| 3 | Charlie |
| OrderID | CustomerID | Product |
|---|---|---|
| 101 | 1 | Laptop |
| 102 | 2 | Smartphone |
| 103 | 4 | Tablet |
他们的内连接INNER JOIN Orders ON Customers.CustomerID = Orders.CustomerID是:
| CustomerID | CustomerName | CustomerID | OrderID | Product |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 1 | 101 | Laptop |
| 2 | Bob | 2 | 102 | Smartphone |
可以看到, 结果表中的元组必须严格符合内连接的定义.
现在有两张表A和B.
| CustomerID | CustomerName |
|---|---|
| 1 | Alice |
| 2 | Bob |
| 3 | Charlie |
| OrderID | CustomerID | Product |
|---|---|---|
| 101 | 1 | Laptop |
| 102 | 2 | Smartphone |
| 103 | 4 | Tablet |
他们的左外连接LEFT JOIN Orders ON Customers.CustomerID = Orders.CustomerID是:
| CustomerID | CustomerName | CustomerID | OrderID | Product |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 1 | 101 | Laptop |
| 2 | Bob | 2 | 102 | Smartphone |
| 3 | Charlie | NULL | NULL | NULL |
可以看到, 在包含内连接那些元组的基础上, 还包含来自A中CustomerID在B中CustomerID找不到的元组, 找不到所有的属性填充为NULL.
现在有两张表A和B.
| CustomerID | CustomerName |
|---|---|
| 1 | Alice |
| 2 | Bob |
| 3 | Charlie |
| OrderID | CustomerID | Product |
|---|---|---|
| 101 | 1 | Laptop |
| 102 | 2 | Smartphone |
| 103 | 4 | Tablet |
他们的右外连接是:
| CustomerID | CustomerName | CustomerID | OrderID | Product |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 1 | 101 | Laptop |
| 2 | Bob | 2 | 102 | Smartphone |
| NULL | NULL | 4 | 103 | Tablet |
可以看到, 在包含内连接那些元组的基础上, 还包含来自B中CustomerID在A中CustomerID找不到的元组, 找不到所有的属性填充为NULL.
现在有两张表A和B.
| CustomerID | CustomerName |
|---|---|
| 1 | Alice |
| 2 | Bob |
| 3 | Charlie |
| OrderID | CustomerID | Product |
|---|---|---|
| 101 | 1 | Laptop |
| 102 | 2 | Smartphone |
| 103 | 4 | Tablet |
他们的全外连接是:
| CustomerID | CustomerName | CustomerID | OrderID | Product |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 1 | 101 | Laptop |
| 2 | Bob | 2 | 102 | Smartphone |
| 3 | Charlie | NULL | NULL | NULL |
| NULL | NULL | 4 | 103 | Tablet |
可以看到, 在包含内连接那些元组的基础上, 还包含来自A中CustomerID在B中CustomerID找不到的元组, 找不到所有的属性填充为NULL. 还包含来自B中CustomerID在A中CustomerID找不到的元组, 找不到所有的属性填充为NULL.
等值连接
等值连接, Equi-Join是一种条件连接的特殊情况, 它在条件连接的基础之上, 又明确了条件中必须只含有等于号.
例子
现在, 有两张表:
| EmpID | EmpName | DeptID |
|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 |
| 2 | Bob | 20 |
| 3 | Charlie | 10 |
| DeptID | DeptName |
|---|---|
| 10 | HR |
| 20 | Engineering |
对两张表进行等值连接: Employees⋈(Employees.DeptID=Departments.DeptID)Departments, 得到的表为:
| EmpID | EmpName | DeptID | DeptID | DeptName |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 | 10 | HR |
| 3 | Charlie | 10 | 10 | HR |
| 2 | Bob | 20 | 20 | Engineering |
自然连接
自然连接, Natural Join是一种等值连接的特殊情况, 它在等值连接的基础之上, 又明确了对于所有的名字相同的属性都进行等值连接, 并且只保留其中的一列.
例子
现在, 有两张表:
| EmpID | EmpName | DeptID |
|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 |
| 2 | Bob | 20 |
| 3 | Charlie | 10 |
| DeptID | DeptName |
|---|---|
| 10 | HR |
| 20 | Engineering |
对两张表进行自然连接: Employees⋈Departments, 得到的表为:
| EmpID | EmpName | DeptID | DeptName |
|---|---|---|---|
| 1 | Alice | 10 | HR |
| 3 | Charlie | 10 | HR |
| 2 | Bob | 20 | Engineering |
另外还有例子, 如图.
集合
集合操作和笛卡尔积等连接操作有很大区别. 集合操作要求两个参与的关系必须有相同的结构, 即类的数量和类型必须相同. 以Union集合操作为例, 结果表的结构和原始表的结构相同, 列的数量和类型都保持一致, 结果集合的行数是两个集合中所有行的总和(去除重复行后); 笛卡尔积的结果表的结构是两个原始表的结构的组合, 列的数量是两个原始表的列数的总和(不考虑自然连接), 结果表的行数是两个原始表的行数的乘积.
举一个例子, 如图.
重命名
重命名操作不会修改原始表, 而是产生一个新的表或者关系的"副本", 该副本具有新的名称/或属性名, 原始表的名称和属性名不会因为重命名操作而发生改变.
例子
假设我们有一个关系 employee, 它的属性有 empid, name, age, department. 如果我们使用重命名操作ρemp_info(employee), 那么这个操作的结果是将 employee 这个关系命名为 emp_info, 但它的属性名保持不变. 结果可以表示为emp_info(empid, name, age, department).
再举一个例子, 如果我们使用带有属性名和表名的重名名操作ρemp_info(eid,ename,eage,dept)(employee), 么这个操作不仅将 employee 这个关系命名为 emp_info, 而且还将它的属性名称分别重命名为 eid, ename, eage, 和 dept. 结果可以表示为: emp_info(eid, ename, eage, dept)
RA在RDBMS中的角色
- 用户发出一个声明式的查询, 也就是我们常写的SQL语句
- SQL查询被解析器解析, 转为关系代数表达式
- 查询优化器对关系代数表达器进行优化, 寻找逻辑上等价但是更有效率的表达方式
- 优化后的关系代数表达式被转换为查询执行计划, 这是一种低层次的描述, 说明如何具体执行查询
- 查询执行计划被转换为可执行代码
- 最后生成的代码在数据库引擎中执行, 以实际获取查询结果
如图.
